【数论】组合数学—容斥原理
概念
在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
２.举例
（１）如果被计数的事物有A，B两类，那么，A类和B类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数-即使A类又是B类元素个数。
那么公式就是：
|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|
可以用下面的图表示（也叫韦恩图）：
U表示全集（整个集合），A表示符合A类的数量，B表示符合B类的数量，I表示既不符合A也不符合B的数量，AB表示既符合A也符合B的数量，则U-I=A+B-AB。
（2）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - | C∩A | + |A∩B∩C|
可以用下面的图表示：
U表示整个大集合，A表示符合A类的数量，B表示符合B类的数量，C表示符合C类的数量，I表示既不符合A也不符合B还不符合C的数量，AB表示既符合A也符合B的数量，BC表是同时符合B和C的数量，AC表示既符合A也符合C的数量，ABC表示同时符合A、B、C的数量。
根据容斥原理的定义，先不考虑重叠，把某内容的所有对象数目先计算出来（即A+B+C）；再剔除重复计算的数目，AB这部分被计算了两次，也就是重复了一次，要剪掉，同理BC，AC也要个减掉一次；
那ABC呢？在A+B+C中我们把ABC统计了三次，所以理论上需要减掉两次，但是ABC同时又在AB、AC、BC中，也就是说我们减去AB的时候已经减了一次ABC，减去BC的时候又减了一次ABC，减AC的时候再一次减掉了ABC，即ABC总共减了三次。所以就需要额外再加回来一次。
那么等量关系就变成了U-I=A+B+C-AB-AC-BC+ABC
3.例题
（1）为了发展体育运动，学校这学期开了体育兴趣课，学生需要从篮球和足球中选，允许两个同时选或同时不选。一个班级有50人，选了篮球的有32人，选了足球的有21人，两种都选了的有17人。问：有多少同学两种都没选。
如上图所示，篮球32人和足球21人，用总数50减去篮球再减去足球，中间重叠的部分被减了两次，所以再加一个中间重叠部分。50-32-21+17=14人。
（2）某校六⑴班有学生55人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有22人，参加排球队的有23人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有11人，足球、游泳都参加的有10人，排球、游泳都参加的有9人，问：三项都参加的有多少人？
我们假设足球队是A，排球队是B，游泳队是C。那么根据公式 |A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - | C∩A | + |A∩B∩C| 可以得出。
55 = 22+23+24-11-10-9 + |A∩B∩C| 。该式子计算得：16
（3） 假设班里有50名学生，每个人都必须选修一门运动科目，选修篮球的有15人，选修足球的有20人，选修乒乓球的有30人，同时选修篮球和足球的有10人，同时选修乒乓球和足球的有18人，同时选修篮球和乒乓球的有12人，问选修了三门科目的有多少人？
根据上面的公式，可以15+20+30-10-18-12 + x =50。得x=25。
思考一下？
4.常见题目类型：
（1）排列问题：
由0到9的数字组成排列，要求第一个数大于1，最后一个数小于8，一共有多少种排列？
（2）序列问题：
长度为n的由数字0，1，2组成的序列，要求每个数字至少出现1次，这样的序列有多少种？
（3）方程组整数解问题
给出一个方程：x1+x2+x3+x4+x5+x6=20, 对于每个 0<=xi<=8，求解这个方程组有多少组解。
（3）区间内互素个数
给出整数n和r。求区间[1;r]中与n互素的数的个数。
(4)至少一个被整除问题
给出n个整数ai和整数r。求在区间[1;r]中，至少能被一个ai整除的数有多少。
(5)匹配字符串个数问题
给出n个匹配串，它们长度相同，其中有一些’?’表示待匹配的字母。然后给出一个整数k，求能正好匹配k个匹配串的字符串的个数。更进一步，求至少匹配k个匹配串的字符串的个数。
(6)路径数据问题
在一个的n*m方格阵中，有k个格子是不可穿越的墙。一开始在格子(1,1)（最左下角的格子）中有一个机器人。这个机器人只能向上或向右行进，最后它将到达位于格子(n,m)的笼子里，其间不能经过障碍物格子。求一共有多少种路线可以到达终点。
(7)数组四元组问题
给出n个数a1,a2,a3....an，从其中选出4个数，使它们的最大公约数为1，问总共有多少中取法。
(8)和睦数三元组个数问题
（9）错排问题
【题解】吃糖果
【题目描述】
小明终于从小红手里赢走了所有的糖果，小明转变吃掉所有糖果，但是小明吃糖果有个特殊癖好，就是不喜欢将一样的糖果放在一起吃，喜欢先吃一种，下一次吃另外一种。试问小明是否存在一种吃糖果的顺序使得他能把所有的糖果都吃完。
【输入描述】
第一行有一个整数T，接下来T组数据，每组数据占两行，第一行是一个整数N （0<N<=1000000）,第二行是N个整数，表示N种糖果的数目Mi(0<Mi<=1000000)
【输出描述】
对于每组数据，输出一行，包含一个“YES”或者“NO”。
【样例输入】
2 3 4 1 1 5 5 4 3 2 1
【样例输出】
NO YES
【题解】组合数学
【算法】扩展欧几里得算法
一、欧几里得算法
我们前面学过求最大公约数的算法：欧几里得算法（又叫辗转相除法） ，一般缩写是gcd，在C++中经常写成如下形式：
int gcd(int a,int b) { if(a%b==0) return b; else return gcd(b,a%b); }原理就是代码中比较核心的 gcd(b，a%b)，这个定理用文字描述就是:
用a除以b（这里是a>b,当然，在程序编程中，求两个数的最大公约数，可以不限a和b的大小，a<b也就是多一次循环）得到结果q和余数r，再用除数b除以余数r 再得到一个余数，再用除数除以余数，…如此循环，直到余数为0，那么此时的除数就是最大公因数。
想要证明gcd(a,b) = gcd(b,a%b)，需要简单了解下面两个引理：
若d是a和b的公约数，那么d也是b和c的公约数（c为a%b）
若d是b和c的公约数（c为a%b），那么d也是a和b的公约数
这两个引理的是什么意思呢，拿第一个来说；
假设一个数d是a的因子，也就是a=m*d，同时也是b的因子，b=n*d，那么a%b = a-w*b = (m-w*n)*d；
由此可得，a的因子集合、b的因子集合和c的因子集合是相同的；
然后利用上述定理当余数为0的时候，除数就是最大公约数；
二、扩展欧几里得算法
从字面上看，扩展欧几里得算法就是把欧几里得算法进行了扩展，不仅能求a和b的最大公约数，还其他功能，比如:
求ax+by=m的任意一组解，最小整数解。
求模逆元（模反元素）
为了了解学习上面的公式，需要先了解一个裴属定理
【题解】大数取模
【题目描述】
求m%n。
【输入描述】
两个数，m和n。
【输出描述】
m模n的值。
【样例输入】
3
【样例输出】
2
【数据范围】
对于30%的数据， 1<m<10^18
对于70%的数据， m>10^18
【题解】求次方和
【题目描述】
求解 (2^0 + 2^1 + 2^2+ ... + 2^n) % 2333
【输入描述】
一行，一个整数n。
【输出描述】
一行，表达式的正确结果
【样例输入】
2
【样例输出】
7
【数论】同余定理与同余方程
【算法】前缀和与差分(3)二维数组前缀和
【题解】数字的选择
【题目描述】
有n个非负整数，请从这n个非负整数中，选出m个数，在不改变m个数的顺序的情况下，构成一个新数列，要求该数列的中相邻两个数的差值绝对值的和尽可能小。
请问，这个最小的差值绝对值的和是多少？
比如：有5个数是2 1 8 5 9，如果从中选3个数，不改变顺序的情况下，要求相邻2个数的差值绝对值的和最小，选数方法可以是：2 1 5，差值绝对值的和是|1-2|+|5-1|=5。
【输入描述】
第1行输入2个整数，分别是n和m。（2≤m≤n≤100）
第2行，有n个非负整数，数字之间用空格隔开。
【输出描述】
按题意输出最小的差值绝对值的和。（本题保证计算出来的结果，在int的范围内）
【样例输入】
5 3 2 1 8 5 9
【样例输出】
5