【题目描述】

下图表示从城市A到城市H的交通图。从图中可以看出，从城市A到城市H要经过若干个城市。现在找出一条经过城市最少的一条路线。

【输入描述】

第一行一个整数n,表示几个城市。

接下来2~n+1行，表示两个城市之间的关系（能否直达）

【输出描述】

倒序输出城市最短线路中间用”-“隔开

【样例输入】

8  1 0 0 0 1 0 1 1   0 1 1 1 1 0 1 1   0 1 1 0 0 1 1 1   0 1 0 1 1 1 0 1  1 1 0 1 1 1 0 0   0 0 1 1 1 1 1 0  1 1 1 0 0 1 1 0  1 1 1 1 0 0 0 1

【样例输出】

H-F-A

【题目分析】

• 考虑用BFS实现最短路径

看到上图很容易想到用邻接矩阵来表示，0表示能走，1表示不能走。则可以产生如下表的数据：

首先想到的是用队列的思想。a数组是存储扩展结点的队列，a[i]记录经过的城市，b[i]记录前驱的城市，这样就可以倒推出最短路线。具体过程如下：

（1）将城市A入队，队首为０，队尾为１

（2）将队首所指的城市所有可通的城市入队（如果这个城市在队列中出现过就不入队，可以一布尔数组s[i]来判断），将入队城市的前趋城市保存在b[i]中。然后将队首加1，得到新的队首城市。重复以上步骤，直到搜到城市H时，搜索结束。利用b[i]可推导出最少的城市线路。

【参考程序】

#include<iostream>  #include<cstring>  using namespace std;  int ju[9][9]={  	{0,0,0,0,0,0,0,0,0},  	{0,1,0,0,0,1,0,1,1},  	{0,0,1,1,1,1,0,1,1},  	{0,0,1,1,0,0,1,1,1},  	{0,0,1,0,1,1,1,0,1},  	{0,1,1,0,1,1,1,0,0},  	{0,0,0,1,1,1,1,1,0},  	{0,1,1,1,0,0,1,1,0},  	{0,1,1,1,1,0,0,0,1},  // 临接矩阵，0表示能走，1表示不能走  };  int a[101],b[101];  bool s[9];  int print(int d){  //输出函数   	cout<<char(a[d]+64);  	while(b[d]){  		d=b[d];  		cout<<"--"<<char(a[d]+64);   	}  	cout<<endl;  }     void bfs(){  	int head,tail,i;  	head=0; tail=1;  //队首为0，队尾为1   	a[1]=1;			// 记录经过的城市   	b[1]=0;			// 记录前趋城市   	s[1]=1;			//表示该城市已经到过   	do{  		head++;	//队首加一，出队   		for(i=1;i<=8;i++){  //搜索可直通的城市   			if((ju[a[head]][i]==0) && (s[i]==0)) {  //判断城市是否走过   				tail++;  //队尾加1，入队   				a[tail]=i;  				b[tail]=head;   				s[i]=1;  				if(i==8){  					print(tail);  //第一次搜到H城市时路线最短   					head=tail;  					break;  				}  			}  		}   	}while(head<tail);   }   int main(){  	memset(s,false,sizeof(s));  	bfs();  //bfs操作   	return 0;  }

或者：

#include<iostream>   #include<cstdio>   #include<cstdlib>   using namespace std;   bool ccan[9][9]={{0,0,0,0,0,0,0,0,0},                    {0,1,0,0,0,1,0,1,1},                    {0,0,1,1,1,1,0,1,1},                    {0,0,1,1,0,0,1,1,1},                    {0,0,1,0,1,1,1,0,1},                    {0,1,1,0,1,1,1,0,0},                    {0,0,0,1,1,1,1,1,0},                    {0,1,1,1,0,0,1,1,0},                    {0,1,1,1,1,0,0,0,1}};//邻接矩阵 ，0表示可以走，1表示不可以走    int qque[100],pre[100];//队列和前驱结点，用来输出路径    bool visited[10];//是否入队列    int oout(int);//输出路径    void bfs();//广搜    int main()   {       bfs();       return 0;   }   void bfs()   {       int head=0,tail=1;//队列的指针        qque[1]=1;pre[1]=0;visited[1]=1;//记录队列的 第一个元素是1（A），它的前驱是0，它已经访问了        do       {           head++;           for(int i=1;i<=8;i++)//寻找A,B,C,D,E,F,G,H中能够走的            {               if(!ccan[qque[head]][i]&&!visited[i])//能都走并且没有访问                {                   tail++;                   qque[tail]=i;//入队                    visited[i]=1;//打标记                    pre[i]=qque[head];//记录前驱                    if(i==8)//当搜到H，输出                    {                       oout(tail);                       head=tail;                       break;                   }               }           }       }while(head<tail);   }   int oout(int x)   {       cout<<char(qque[x]+64);//首先输出H        while(pre[x]!=0)       {            x=pre[x];           cout<<"---"<<char(x+64);       }       cout<<endl;   }

【题目过程详解】

注意：题目是用队列在做。下面的过程模拟广度优先遍历的过程，并输出一条路径(由终点到起点)

qque[1]  //队列，表示记录经过的城市，第一个是起点，一定经过，所以标记1  pre[0]  //前趋，第一个元素的前趋是0，表示已经访问过了  visited[1] //标记数组，用来标记访问过的点，第一个点默认访问，所以

（1）首先，do while循环。

（2）head++，头指针加1。表示我们要访问下一个点的地址（下标）

（3）然后，开始for循环，A，B，C，D，E，F，G，H 一个8个可以走的地方，所以循环8次，每次选取一个地方（城市）

（4）判断哪些点是可以走的。一个就是地图（题目中邻接矩阵）哪些点是可以走的，另一个是哪些点走过了。

    ccan[qque[head]][i] 是个二维数组，前面的qque[head]表示行，后面的i 表示列。

    因为head默认是0，head++后是1，所以第一个判断的就是  ccan[1][1]。

    后面判断的时候，按照入队的顺序进行判断 ccan（以邻接点点为基础开始扩散）。

（5）if成立，说明，当前这个城市可以走，而且在这次循环中没有走过。

        那么，对照上图，我们可以看出，成立的点都有哪些。

head为1：

（1）   ccan[1][1]不成立，i++;

（2）   qque[head]=qque[1]= 1， ccan[1][2]成立，且visited[2]=0；

那么这个点需要操作一下：  tail++; 队列尾指针加1，qque[tail]=qque[2]=2;此时队列里面是 1 2  然后，标记一下当前的visited[i]=visited[2]=1;  记录前驱，qque[head]=qque[1];  赋值给 pre[i]=pre[2]。 也就是 pre[2]=1。 实际上就是队列里面两个数，2的前驱是1  判断是否到边界 i==8。不成立。循环继续，i++；i为3

（3）    qque[head]=qque[1]= 1，ccan[1][3]成立，且visited[3]=0;

那么这个点也需操作一下：  tail++； 队列尾指针加1，准备往队列里面存数 tail=3  qque[tail]=qque[3]=3, 此时队列里面是1 2 3      然后，标记一下当前的visited[i]=visited[3]=1;  记录前驱（pre[i]=qque[head]），qque[head]=qque[1];  赋值给 pre[i]=pre[3]。 也就是 pre[3]=1。 3的前驱是1 (表示从1也可以直接走到3)  判断是否到边界 i==8。不成立。循环继续，i++； i为4

（4）     qque[head]=qque[1]= 1，ccan[1][4]成立，且visited[4]=0;        

那么这个点也需操作一下：  tail++； 队列尾指针加1，准备往队列里面存数 tail=4  qque[tail]=qque[4]=4, 此时队列里面是1 2 3 4  然后，标记一下当前的visited[i]=visited[4]=1;  记录前驱（pre[i]=qque[head]），qque[head]=qque[1];  赋值给 pre[i]=pre[4]。 也就是 pre[4]=1。 4的前驱是1 (表示从1也可以直接走到4)  判断是否到边界 i==8。不成立。循环继续，i++； i为5

(5)     qque[head]=qque[1]= 1，ccan[1][5]不成立，（1不能走到5）,i++; i为6

  (6)     qque[head]=qque[1]= 1，ccan[1][6]成立，   且visited[5]=0;

 那么这个点也需操作一下：   tail++； 队列尾指针加1，准备往队列里面存数 tail=5   qque[tail]=qque[5]=6, 此时队列里面是1 2 3 4 6   然后，标记一下当前的visited[i]=visited[6]=1;   记录前驱（pre[i]=qque[head]），qque[head]=qque[1];  赋值给 pre[i]=pre[6]。 也就是 pre[6]=1。 6的前驱是1 (表示从1也可以直接走到6)   判断是否到边界 i==8。不成立。循环继续，i++； i为7

  (7)    qque[head]=qque[1]= 1，ccan[1][7]不成立，（1不能走到7）,i++; i为8

  (8)    qque[head]=qque[1]= 1，ccan[1][8]不成立，（1不能走到8）,i++; i为9。推出for循环

head为2：

         由上面的过程可知， qque[head]=qque[2]=2,  根据地图，只有ccan[2][1] 和ccan[2][6] 可以走，但是在上面，visited[1] 和 visted[6] 都被标记过了，所以head为2的时候，一个都没成立

head为3：

          由上面的过程可知， qque[head]=qque[3]=3,  根据地图，只有ccan[3][1] 、ccan[3][4]、ccan[3][5] 可以走，但是在上面，visited[1] 、 visted[4] 都被标记过了，所以只有ccan[3][5]这个点成立，此时i为5

 那么这个点也需操作一下：   tail++； 队列尾指针加1，准备往队列里面存数 tail=6   qque[tail]=qque[6]=5, 此时队列里面是1 2 3 4 6 5   然后，标记一下当前的visited[i]=visited[5]=1;   记录前驱（pre[i]=qque[head]），qque[head]=qque[3]=3;  赋值给 pre[i]=pre[5]。 也就是 pre[5]=3。 5的前驱是3 (表示从3也可以直接走到5)   其余不成立，不再继续判断。

head为4：

        由上面的过程可知， qque[head]=qque[4]=4,  根据地图，只有ccan[4][1] 、ccan[4][3]、ccan[4][7] 可以走，但是在上面，visited[1] 、 visted[3] 都被标记过了，所以只有ccan[4][7]这个点成立，此时i为7

 那么这个点也需操作一下：   tail++； 队列尾指针加1，准备往队列里面存数 tail=7   qque[tail]=qque[7]=7, 此时队列里面是1 2 3 4 6 5 7   然后，标记一下当前的visited[i]=visited[7]=1;   记录前驱（pre[i]=qque[head]），qque[head]=qque[4]=4;  赋值给 pre[i]=pre[7]。 也就是 pre[7]=4。 7的前驱是4 (表示从4也可以直接走到7)   其余不成立，不再继续判断。

head为5：

    由上面的过程可知， qque[head]=qque[5]=6,  根据地图，只有ccan[6][1] 、ccan[6][2]、ccan[6][8] 可以走，但是在上面，visited[1] 、 visted[2] 都被标记过了，所以只有ccan[6][8]这个点成立，此时i为8

 那么这个点也需操作一下：   tail++； 队列尾指针加1，准备往队列里面存数 tail=8   qque[tail]=qque[8]=8, 此时队列里面是1 2 3 4 6 5 7 8   然后，标记一下当前的visited[8]=visited[8]=1;   记录前驱（pre[i]=qque[head]），qque[head]=qque[5]=6;  赋值给 pre[i]=pre[7]。 也就是 pre[8]=6。 8的前驱是6 (表示从6也可以直接走到8)   其余不成立，不再继续判断。111111

if成立，开始输出  oout(tail),此时tail是8。 先输出 8,也就是H  然后，pre[x]!=0。 意思是8的前驱不是0开始输出，8的前驱是6，输出，6，也就是F  然后，x=pre[x], 替换前驱，6的前驱是1。输出1。 也就是A。

然后head=tail。 把尾结点复制给头结点，程序暂时结束。

不满足 head<tail，程序结束。

问题：

1. 为什么没有比较过程，输出路径是最短的？H的前驱明明还有G和E，为什么没有判断过？

        从起点开始，把起点能走到的点全部按照顺序入队，然后以这些顺序为基础（邻接矩阵）开始继续寻找别的点，如果找到目标点，就是最短的那条。

        比如E点。

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