一、基本概念

上面这个式子就叫做二项式定理，又称牛顿二项式定理，该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。

 初中高中阶段比较常用的是二次方和三次方

(a+b)²=a²+2ab+b²

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b²

扩展：常见平方和立方和公式及其变形：

(a+b)²=a²+2ab+b²

(a-b)²=a²-2ab+b²

a²-b²=(a+b)(a-b)

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b²

(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³

a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)

a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

二、特点

• 项数：公共有n+1项。
  
  

• 字母a按照降幂排列，从第一项开始，次数由n减1到0
  
  

• 字母b按照升幂排列，从第一项开始，次数由0加1到n

例如：

三、二项式系数

n=1时，二项式系数：1，1

n=2时，二项式系数：1，2，1

n=3时，二项式系数：1，3，3，1

n=4时，二项式系数：1，4，6，4，1

n=5时，二项式系数：1，5，10，10，5，1

....

四、练习

【题目描述】

输出 (a+b)^n的二项式系数。

【输入描述】

一行，包含一个整数n。

【输出描述】

一行，输出(a+b)^n的二项式系数，每个数用空格隔开。

【样例输入】

3

【样例输出】

1 3 3 1

附1：递归法求二项式系数之和

#include <bits/stdc++.h>  using namespace std;    int digui(int k,int n)  {  	if(k==0||k==n)return 1;  	else return digui(k,n-1)+digui(k-1,n-1);  }    int main()  {  	int k,n;  	cin>>k>>n;  	cout<<digui(k,n)<<endl;  	return 0;  }

附2：队列求二项式系数表

#include <iostream>  #include <queue>    using namespace std;    void yanghuiTriangle(int n)  {      queue<int> q;      int s,t;        q.push(1); q.push(1);      cout << 1<<"\t"<<1;      for(int i=2;i<=n;i++){          cout <<endl;          q.push(1);          cout <<1<<"\t";          s=q.front();          q.pop();          for(int j=2;j<=i;j++)          {              t=q.front();  //t为第i-1行第j个元素的值              q.pop();              q.push(s+t);   //s+t为第i行第j个元素的值              cout << s+t <<"\t";                s=t;          }          q.push(1);          cout << 1;      }      cout <<endl;  }  int main()  {  	int n;  	cin>>n;      yanghuiTriangle(n);      return 0;  }

五、二项式系数的性质

• 在二项展开式中与首末“等距离”的两项的二项式系数相等。

  C(n,0)=C(n,n) 、C(n,1)=C(n,n-1)

  C(n,k)=C(n,n-k)

• 增减性与最大值

        在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。

        如果二项式的幂指数是偶数（总共奇数项），中间一项的二项式系数最大，即n为偶数。

        如果二项式的幂指数是奇数（总共偶数项），中间二项的二项式系数相等并最大，即n为奇数。

• 各项二项式系数之和等于2^n

• 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等

六、二项式系数于系数的区别

系数是指未知数x前面的数据，二项式系数特指C(n,k)这种，比如下面这个题目。

求 (1+2x)^7的第四项的系数和二项式系数。

所以系数是 C(7,3)* 2^3 =280

二项式系数是 C(7,3) =35