【题目描述】

下图表示从城市A到城市H的交通图。从图中可以看出，从城市A到城市H要经过若干个城市。现在找出一条经过城市最少的一条路线。

【输入描述】

第一行一个整数n,表示几个城市。

接下来2~n+1行，表示两个城市之间的关系（能否直达）

【输出描述】

倒序输出城市最短线路中间用”-“隔开

【样例输入】

8
1 0 0 0 1 0 1 1 
0 1 1 1 1 0 1 1 
0 1 1 0 0 1 1 1 
0 1 0 1 1 1 0 1
1 1 0 1 1 1 0 0 
0 0 1 1 1 1 1 0
1 1 1 0 0 1 1 0
1 1 1 1 0 0 0 1

【样例输出】

H-F-A

【题目分析】

• 考虑用BFS实现最短路径

看到上图很容易想到用邻接矩阵来表示，0表示能走，1表示不能走。则可以产生如下表的数据：

首先想到的是用队列的思想。a数组是存储扩展结点的队列，a[i]记录经过的城市，b[i]记录前驱的城市，这样就可以倒推出最短路线。具体过程如下：

（1）将城市A入队，队首为０，队尾为１

（2）将队首所指的城市所有可通的城市入队（如果这个城市在队列中出现过就不入队，可以一布尔数组s[i]来判断），将入队城市的前趋城市保存在b[i]中。然后将队首加1，得到新的队首城市。重复以上步骤，直到搜到城市H时，搜索结束。利用b[i]可推导出最少的城市线路。

【参考程序】

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int ju[9][9]={
	{0,0,0,0,0,0,0,0,0},
	{0,1,0,0,0,1,0,1,1},
	{0,0,1,1,1,1,0,1,1},
	{0,0,1,1,0,0,1,1,1},
	{0,0,1,0,1,1,1,0,1},
	{0,1,1,0,1,1,1,0,0},
	{0,0,0,1,1,1,1,1,0},
	{0,1,1,1,0,0,1,1,0},
	{0,1,1,1,1,0,0,0,1},  // 临接矩阵，0表示能走，1表示不能走
};
int a[101],b[101];
bool s[9];
int print(int d){  //输出函数 
	cout<<char(a[d]+64);
	while(b[d]){
		d=b[d];
		cout<<"--"<<char(a[d]+64); 
	}
	cout<<endl;
} 

void bfs(){
	int head,tail,i;
	head=0; tail=1;  //队首为0，队尾为1 
	a[1]=1;			// 记录经过的城市 
	b[1]=0;			// 记录前趋城市 
	s[1]=1;			//表示该城市已经到过 
	do{
		head++;	//队首加一，出队 
		for(i=1;i<=8;i++){  //搜索可直通的城市 
			if((ju[a[head]][i]==0) && (s[i]==0)) {  //判断城市是否走过 
				tail++;  //队尾加1，入队 
				a[tail]=i;
				b[tail]=head; 
				s[i]=1;
				if(i==8){
					print(tail);  //第一次搜到H城市时路线最短 
					head=tail;
					break;
				}
			}
		} 
	}while(head<tail); 
} 
int main(){
	memset(s,false,sizeof(s));
	bfs();  //bfs操作 
	return 0;
}

或者：

#include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 using namespace std;
 bool ccan[9][9]={{0,0,0,0,0,0,0,0,0},
                  {0,1,0,0,0,1,0,1,1},
                  {0,0,1,1,1,1,0,1,1},
                  {0,0,1,1,0,0,1,1,1},
                  {0,0,1,0,1,1,1,0,1},
                  {0,1,1,0,1,1,1,0,0},
                  {0,0,0,1,1,1,1,1,0},
                  {0,1,1,1,0,0,1,1,0},
                  {0,1,1,1,1,0,0,0,1}};//邻接矩阵 ，0表示可以走，1表示不可以走 
 int qque[100],pre[100];//队列和前驱结点，用来输出路径 
 bool visited[10];//是否入队列 
 int oout(int);//输出路径 
 void bfs();//广搜 
 int main()
 {
     bfs();
     return 0;
 }
 void bfs()
 {
     int head=0,tail=1;//队列的指针 
     qque[1]=1;pre[1]=0;visited[1]=1;//记录队列的 第一个元素是1（A），它的前驱是0，它已经访问了 
     do
     {
         head++;
         for(int i=1;i<=8;i++)//寻找A,B,C,D,E,F,G,H中能够走的 
         {
             if(!ccan[qque[head]][i]&&!visited[i])//能都走并且没有访问 
             {
                 tail++;
                 qque[tail]=i;//入队 
                 visited[i]=1;//打标记 
                 pre[i]=qque[head];//记录前驱 
                 if(i==8)//当搜到H，输出 
                 {
                     oout(tail);
                     head=tail;
                     break;
                 }
             }
         }
     }while(head<tail);
 }
 int oout(int x)
 {
     cout<<char(qque[x]+64);//首先输出H 
     while(pre[x]!=0)
     {
          x=pre[x];
         cout<<"---"<<char(x+64);
     }
     cout<<endl;
 }

【题目过程详解】

注意：题目是用队列在做。下面的过程模拟广度优先遍历的过程，并输出一条路径(由终点到起点)

qque[1]  //队列，表示记录经过的城市，第一个是起点，一定经过，所以标记1
pre[0]  //前趋，第一个元素的前趋是0，表示已经访问过了
visited[1] //标记数组，用来标记访问过的点，第一个点默认访问，所以

（1）首先，do while循环。

（2）head++，头指针加1。表示我们要访问下一个点的地址（下标）

（3）然后，开始for循环，A，B，C，D，E，F，G，H 一个8个可以走的地方，所以循环8次，每次选取一个地方（城市）

（4）判断哪些点是可以走的。一个就是地图（题目中邻接矩阵）哪些点是可以走的，另一个是哪些点走过了。

    ccan[qque[head]][i] 是个二维数组，前面的qque[head]表示行，后面的i 表示列。

    因为head默认是0，head++后是1，所以第一个判断的就是  ccan[1][1]。

    后面判断的时候，按照入队的顺序进行判断 ccan（以邻接点点为基础开始扩散）。

（5）if成立，说明，当前这个城市可以走，而且在这次循环中没有走过。

        那么，对照上图，我们可以看出，成立的点都有哪些。

head为1：

（1）   ccan[1][1]不成立，i++;

（2）   qque[head]=qque[1]= 1， ccan[1][2]成立，且visited[2]=0；

那么这个点需要操作一下：
tail++; 队列尾指针加1，qque[tail]=qque[2]=2;此时队列里面是 1 2
然后，标记一下当前的visited[i]=visited[2]=1;
记录前驱，qque[head]=qque[1];  赋值给 pre[i]=pre[2]。 也就是 pre[2]=1。 实际上就是队列里面两个数，2的前驱是1
判断是否到边界 i==8。不成立。循环继续，i++；i为3

（3）    qque[head]=qque[1]= 1，ccan[1][3]成立，且visited[3]=0;

那么这个点也需操作一下：
tail++； 队列尾指针加1，准备往队列里面存数 tail=3
qque[tail]=qque[3]=3, 此时队列里面是1 2 3    
然后，标记一下当前的visited[i]=visited[3]=1;
记录前驱（pre[i]=qque[head]），qque[head]=qque[1];  赋值给 pre[i]=pre[3]。 也就是 pre[3]=1。 3的前驱是1 (表示从1也可以直接走到3)
判断是否到边界 i==8。不成立。循环继续，i++； i为4

（4）     qque[head]=qque[1]= 1，ccan[1][4]成立，且visited[4]=0;        

那么这个点也需操作一下：
tail++； 队列尾指针加1，准备往队列里面存数 tail=4
qque[tail]=qque[4]=4, 此时队列里面是1 2 3 4
然后，标记一下当前的visited[i]=visited[4]=1;
记录前驱（pre[i]=qque[head]），qque[head]=qque[1];  赋值给 pre[i]=pre[4]。 也就是 pre[4]=1。 4的前驱是1 (表示从1也可以直接走到4)
判断是否到边界 i==8。不成立。循环继续，i++； i为5

(5)     qque[head]=qque[1]= 1，ccan[1][5]不成立，（1不能走到5）,i++; i为6

  (6)     qque[head]=qque[1]= 1，ccan[1][6]成立，   且visited[5]=0;

 那么这个点也需操作一下：
 tail++； 队列尾指针加1，准备往队列里面存数 tail=5
 qque[tail]=qque[5]=6, 此时队列里面是1 2 3 4 6
 然后，标记一下当前的visited[i]=visited[6]=1;
 记录前驱（pre[i]=qque[head]），qque[head]=qque[1];  赋值给 pre[i]=pre[6]。 也就是 pre[6]=1。 6的前驱是1 (表示从1也可以直接走到6)
 判断是否到边界 i==8。不成立。循环继续，i++； i为7

  (7)    qque[head]=qque[1]= 1，ccan[1][7]不成立，（1不能走到7）,i++; i为8

  (8)    qque[head]=qque[1]= 1，ccan[1][8]不成立，（1不能走到8）,i++; i为9。推出for循环

head为2：

         由上面的过程可知， qque[head]=qque[2]=2,  根据地图，只有ccan[2][1] 和ccan[2][6] 可以走，但是在上面，visited[1] 和 visted[6] 都被标记过了，所以head为2的时候，一个都没成立

head为3：

          由上面的过程可知， qque[head]=qque[3]=3,  根据地图，只有ccan[3][1] 、ccan[3][4]、ccan[3][5] 可以走，但是在上面，visited[1] 、 visted[4] 都被标记过了，所以只有ccan[3][5]这个点成立，此时i为5

 那么这个点也需操作一下：
 tail++； 队列尾指针加1，准备往队列里面存数 tail=6
 qque[tail]=qque[6]=5, 此时队列里面是1 2 3 4 6 5
 然后，标记一下当前的visited[i]=visited[5]=1;
 记录前驱（pre[i]=qque[head]），qque[head]=qque[3]=3;  赋值给 pre[i]=pre[5]。 也就是 pre[5]=3。 5的前驱是3 (表示从3也可以直接走到5)
 其余不成立，不再继续判断。

head为4：

        由上面的过程可知， qque[head]=qque[4]=4,  根据地图，只有ccan[4][1] 、ccan[4][3]、ccan[4][7] 可以走，但是在上面，visited[1] 、 visted[3] 都被标记过了，所以只有ccan[4][7]这个点成立，此时i为7

 那么这个点也需操作一下：
 tail++； 队列尾指针加1，准备往队列里面存数 tail=7
 qque[tail]=qque[7]=7, 此时队列里面是1 2 3 4 6 5 7
 然后，标记一下当前的visited[i]=visited[7]=1;
 记录前驱（pre[i]=qque[head]），qque[head]=qque[4]=4;  赋值给 pre[i]=pre[7]。 也就是 pre[7]=4。 7的前驱是4 (表示从4也可以直接走到7)
 其余不成立，不再继续判断。

head为5：

    由上面的过程可知， qque[head]=qque[5]=6,  根据地图，只有ccan[6][1] 、ccan[6][2]、ccan[6][8] 可以走，但是在上面，visited[1] 、 visted[2] 都被标记过了，所以只有ccan[6][8]这个点成立，此时i为8

 那么这个点也需操作一下：
 tail++； 队列尾指针加1，准备往队列里面存数 tail=8
 qque[tail]=qque[8]=8, 此时队列里面是1 2 3 4 6 5 7 8
 然后，标记一下当前的visited[8]=visited[8]=1;
 记录前驱（pre[i]=qque[head]），qque[head]=qque[5]=6;  赋值给 pre[i]=pre[7]。 也就是 pre[8]=6。 8的前驱是6 (表示从6也可以直接走到8)
 其余不成立，不再继续判断。111111

if成立，开始输出
oout(tail),此时tail是8。 先输出 8,也就是H
然后，pre[x]!=0。 意思是8的前驱不是0开始输出，8的前驱是6，输出，6，也就是F
然后，x=pre[x], 替换前驱，6的前驱是1。输出1。 也就是A。

然后head=tail。 把尾结点复制给头结点，程序暂时结束。

不满足 head<tail，程序结束。

问题：

1. 为什么没有比较过程，输出路径是最短的？H的前驱明明还有G和E，为什么没有判断过？

        从起点开始，把起点能走到的点全部按照顺序入队，然后以这些顺序为基础（邻接矩阵）开始继续寻找别的点，如果找到目标点，就是最短的那条。

        比如E点。