【题目描述】

一个旅行者有一个最多能装 M 公斤的背包，现在有 n 件物品，它们的重量分别是W1，W2，...,Wn,它们的价值分别为C1,C2,...,Cn，求旅行者能获得最大总价值。

【输入描述】

第一行：两个整数，M(背包容量，M<=200)和N(物品数量，N<=30)；
第2..N+1行：每行二个整数Wi，Ci，表示每个物品的重量和价值。

【输出描述】

仅一行，一个数，表示最大总价值。

【样例输入】

10 4
2 1
3 3
4 5
7 9

【样例输出】

12

【题目分析】

1. 状态定义

集合：将n件物品放入空间为M的背包的方案

限制：物品范围，背包空间

属性：价值

条件：最大

统计量：价值

状态定义：dp[i][j]表示将前i件物品放入大小为j的背包能获得的最大价值

2. 状态转移方程

记w[i]为第i个物品的重量，c[i]为第i个物品的价值。

分割集合：以第i物品是否放入背包分割集合

子集1：如果不将第i物品放入背包，那么将前i件物品放入大小为j的背包能获得的最大价值，即为将前i-1件物品放入大小为j的背包的最大价值，即dp[i][j] = dp[i-1][j]

子集2：如果确定将第i物品放入背包，此时背包剩下空间为j-w[i]。那么将前i件物品放入大小为j的背包能获得的最大价值，即为第i物品的价值c[i]加上将前i-1件物品放入空间为j-w[i]的背包能获得的最大价值，

即dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]]+c[i]

以上两种情况求最大值。

【参考答案】：二维数组

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 35
#define M 250
int dp[N][M], w[N], c[N];//dp[i][j]:在前i个物品中选择物品放入大小为j的背包能获得的最大价值 
int main()
{
    int m, n;
    cin >> m >> n;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        cin >> w[i] >> c[i];
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = 0; j <= m; ++j)
        {
            if(j >= w[i])
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+c[i]);
            else
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
        }
    cout << dp[n][m];
    return 0;
}

【参考答案】：一维数组

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 35
#define M 250
int dp[M], w[N], c[N];//dp[i][j]:在前i个物品中选择物品放入大小为j的背包能获得的最大价值
int main()
{
    int m, n;
    cin >> m >> n;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        cin >> w[i] >> c[i];
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = m; j >= w[i]; --j)
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]]+c[i]);
    cout << dp[m];
    return 0;
}