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【数论】均值不等式

亿万年的星光2年前 (2023-01-29)C++知识1123

均值不等式是高中常见的一个知识点,下面这篇文章做一下简单总结。

1、

其中a,b属于实数R,当且仅当a=b时,等号成立。这个也叫基本不等式


2、

其中a,b属于正实数,当且仅当a=b时,等号成立。



3、

其中a,b属于正实数,当且仅当a=b时,等号成立。


4、


其中a,b属于正实数,当且仅当a=b时,等号成立。

5、不等式链

6、注意使用不等式求最值的条件是:一正、二定、三相等


7、例题一


若实数满足a+b=2, 则3^a+ 3^b 的最小值是____________



【分析】

题目是一个由“和”到“积”的过程,考虑使用均值不等式求解。


因为3^a和3^b都是正数,根据均值不等式

那么我们可以进行替换

当3^a=3^b 时等号成立,又因为a+b=2,那么a=b=1,最小就是6


8、例题二


已知x,y都属于实数,而且x+3y=2 =0 ,则 2^x + 8^y 的最小值是____





【分析】

因为 x+3y-2 =0, 所以 x+3y=2

 2^x + 8^y 构造不等式

当且仅当x=3y, 即x=1,y=1/3 是取等号,所以最小值是4。

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